Урок-презентація “Правильні многогранники та їх елементи” – 11 клас

Мета:  домогтися  засвоєння  учнями  означення  правильного  многогранника  та п’яти  видів  правильних  многогранників;  сформувати  в учнів поняття  про  елементи  правильних  многогранників;  вдосконалювати  навички  розв’язування  задач  про  правильні  многогранники  на  основі  знань  про  многогранні  кути,  симетрію,  правильних  многогранників  та  властивості  куба;  розвивати  творчу  активність  учнів,  створювати  умови  для  вияву ініціативи  учнів  під  час вибору  завдань;  виховувати  в учнів  прагнення  до  самовдосконалення,  задоволення  пізнавальних  потреб.

Наочність:  моделі  правильних  многогранників,  таблиці  про  многогранники,  малюнки  до  задач,  роздруковані  таблиці (для кожного учня).

Форма  проведення:  урок – презентація.

Міжпредметні  зв’язки:   хімія,  біологія,  образотворче  мистецтво,  історія,  астрономія,  медицина.

Епіграф:  
Правильних  многогранників  надзвичайно  мало,  але  цей  дуже 
скромний  за  кількістю  загін  зумів  пробитись  у  найбільші   глибини  різних  наук.

                                                                                                        Л.Керролл.

                                      Х І Д   У Р О К У

1.     Вступне слово  вчителя.

          Тема  сьогоднішнього  уроку – “Правильні  многогранники”.  Він  незвичайний,  бо  його  підготували  ви, - учні,  і самі  будете  його  проводити.

               (Вчитель  знайомить  учнів  з метою  уроку  та  епіграфом.)

         Усі  знають  Льюїса  Керролла  як відомого  дитячого письменника,  який  написав  чудові дитячі  книжки  “Аліса  в країні  чудес”,  “Аліса в  Задзеркаллі”.  Проте  мало  кому  відомо,  що це  прізвище  є  літературним  псевдонімом  англійського математика  Чарльза  Доджонса,  який  теж  досліджував  правильні  многогранники.

         Ви,  готуючись  до  уроку  розподілилися  на п’ять  груп,  кожна  з яких  презентує  певний  многогранник.  До кінця  уроку  ви  всі  маєте  усвідомити  й оволодіти знаннями  про п’ять  видів  правильних  многогранників.  Тому  кожному  слід бути  уважним  під  час відповіді  товариші  і заповнювати  таблицю,  що допоможе  краще  запам’ятати  матеріал.  У  цій  таблиці  ви  запишете  кількість  елементів  кожного  многогранника  та  їх  кількісні  характеристики.  Крім  того в останній  колонці  записана  формула,  яка  має  назву формула  Ейлера.   Вона  установлює  зв’язок  між  числом  вершин В, ребер Р  і  граней  Г:           В – Р + Г = 2.

  По закінченню  звіту  груп  ми визначимо  найкращу  підготовку  в кількох  номінаціях:

·        “Краще пояснення”;

·        “Кращий  плакат”,

·        “Краща  довідка”.

Означення  правильного  многогранника :  опуклий  многогранник  називається  правильним,  якщо його грані є правильні  многокутники з однією  і тією самою  кількістю  сторін,  а в кожній вершині  сходиться одне і те ж число ребер.

                         2.Презентація  многогранників.

 Звіт  групи  “Тетраедр” .

1-й учень   демонструє  модель.

        Правильним  тетраедром  називається  многогранник,  у якого  всі  грані – правильні  трикутники  і в  кожній  вершині  сходиться  3 ребра.  Крім  того,  тетраедр – це  правильна  піраміда,  всі ребра  якої  рівні.

Коментує  дані  таблиці.

2-й  учень подає  історичну  довідку:           

             Пам’ятник тим,  хто не вірить у математику.

         Розповідають, що одного разу  до відомого  математика А.М.Колмогорова звернулися будівельники однієї з гідроелектростанцій за порадою.  Вони повідомили,  що швидка течія не дає змоги перекрити  русло річки  звичайним способом.  Тому будівельники хотіли знайти форму кам’яних брил,  якими можна було б зупинити течію  річки.  Учені зробили розрахунки і встановили,  що річку потрібно перекрити  бетонними тетраедрами. Крім того,  вони підрахували,  що таких правильних тетраедрів повинно бути сім з половиною  тисяч.  Будівелники засумнівалися в правильності розрахунків  математиків і,  щоб  уникнути помилки,  спочатку  подвоїли кількість  пірамід,  а потім добавили  ще трохи зайвих і приготували аж тридцять п’ять тисяч пірамід.  Кинули в річку сім з половиною тисяч, і цього було досить,  щоб перекрити течію  .  А решта пірамід  залишилася  на березі як пам’ятник тим,  хто не вірить у математику.

  У формі правильної  чотирикутної  піраміди  роблять бункери  для  приготування  розчину в будівельній  справі.  Таку ж форму мають і бункери зернозбиральних  комбайнів.

  Багато  пам’ятників  споруджують у формі пірамід.  Так,  пам’ятник  Вічної слави,  який  споруджено в київському  парку на схилі  Дніпра – це обеліск,  верхня частина якого має  форму правильної  чотирикутної  піраміди.

       Відомий  німецький  поет І.В.Гете (1749 – 1832)  вважав піраміду  таємничою містичною фігурою.  Про це писав і біограф Гете – Іммерман.  Але у своїх  спогадах  про Гете німецький  письменник  припустився  однієї  математичної   помилки.  Ось що він пише:  “Одного  разу я  відвідав Гете і застав його в робочому кабінеті за цікавим  заняттям.  Поет виготовив з картону трикутник і хотів на ньому  продемонструвати  співвідношення  між душевними силами людини.  Чутливість він  вважав основою серед усіх інших рис.  Тому зобразив її в основі  трикутника і зафарбував у зелений  колір.  Зафарбована  у червоний колір бічна  грань зображала  фантазію,  а в жовтий – здоровий глузд,  у блакитний  розум”.  По-перше,  трикутник не має граней,  а має сторони.  По-друге,  їх не чотири, а три.  Тож  Іммерман  припустився помилки.  Гете,  очевидно,  виготовляв  тетраедр.

3-й учень  демонструє  розв’язання  задачі

Задача.   В якому  відношенні  діляться  точкою  перетину  висоти правильного  тетраедра.

                           Звіт  групи “Гексаедр”

1-й учень  демонструє  модель.        У куба  всі грані – квадрати,  у  кожній  вершині  сходиться  по три ребра.  Куб – це прямокутний паралелепіпед,  у якого всі ребра  рівні.

Коментує  дані  таблиці.

2-й  учень  подає  історичну  довідку:

                                        Гексаедр  і корозія  металів.

        Правильні  многогранники  не тільки  зачаровують  своєю привабливістю.  Виявляється, що вони  містять  багато  загадок,  а  ймовірніше, з їх допомогою  можна  розгадати  багато  загадок природи.  Ось одна  з них.

         Хіміки  добре знають,  як відбувається  корозія  металів.  Але з чого вона  починається,  досі  не розгадано.  Професор Д. Уорбер,  досліджуючи  антикорозійні  сплави  сталі,  висунув  молекулярну  теорію корозії. “Атоми  металу, - пояснює вчений,  утворюють куб,  кожна  сторона якого  містить по атому  заліза.  Якщо в центрі куба є ще один атом заліза,  то вся  “конструкція”  легко  піддається  дії атомів  кисню – головних ворогів  металу.  Якщо  такого атома не виявляється в центрі куба,  корозія майже не діє”.

   Знання геометрії  корозії  металів,  можливо, в недалекому  майбутньому  допоможе  металургам  в одержанні  нових  нержавіючих  сортів сталі.

3-й  учень  пояснює  розв’язання  задачі.

Дано  куб  АВСDА₁В₁С₁D₁ . Довести,  що  АВСД  - тетраедр.

  Звіт  групи “Октаедр” 

 1-й учень  демонструє  модель.

Октаедр – це  правильний  многогранник,  у якого грані – правильні  трикутники і в кожній  вершині  сходяться  чотири  ребра.

Коментує  дані  таблиці.

2-й  учень подає  історичну  довідку.

 Геометрія  галактик

  Ще  молодим  Кеплер  пов’язував  правильні  многогранники  з орбітами  відомих на той час планет.  Він міркував так:  відомо шість планет,  а правильних многогранників – п’ять.  І проміжків  між планетами – п’ять.  Очевидно,  це не випадковий збіг:  між планетами і правильними  многогранниками існує  зв’язок.  Цей  зв’язок  астроном  зображав так: навколо сонця  описував найбільшу кулю.  По ній рухається   Сатурн. У  цю кулю вписував куб,  а в нього  знову кулю – орбіту Марса.

   Між  Марсом  і Землею  виявиться  додекаедр,  між Землею і Венерою – ікосаедр, а Венеру і Меркурій  розділяє октаедр.  Точних значень орбіт кеплер не одержував. І в загалі  його модель виявилася хибною. Кількість  відкритих  планет  збільшилася,  а кількість платонових  тіл залишилася  сталою.  Тому Кеплер не зміг до кінця  встановити зв’язок  між правильними  многогранниками і космічними  тілами.

   А ось яку  гіпотезу  висунули  сучасні  естонські  математики  й астрономи: “Всесвіт – це сукупність гігантських  многогранників,  утворених галактиками і супергалактиками”.  Вважалося,  що космічна  речовина, яку в побуті  називають  зірками,  більш або менш рівномірно розподіляється  в космосі.  Доктор  фізико-математичних наук  Я.Ейнасто з Інституту  астрофізики й фізики атмосфери Академії  наук Естонії  дійшов  висновку,  що  галактики та їх  скупчення  розміщені в порядку,  що нагадує бджолині  стільники  величезних  розмірів – більше  ніж 650 млн. світових років.  Стільники мають  форми правильних  многогранників.  І чим ближче  до місць стикування їх  частин,  тим сильніше  сконцентрована  космічна  речовина.

  Сьогодні  ця гіпотеза  досліджується  багатьма  вченими.  Можливо,  в  недалекому  майбутньому  комусь  із нас пощастить  її довести.

  Кристал  золота,  алмазу,  міді  та  срібла  мають форму октаедра.

   3-й  учень    пояснює  ров’язання  задачі.

   Знайти  діагональ  октаедра,  якщо  довжина ребра  становить  п’ять сантиметрів.

  Звіт  групи  “Ікосаедр”

 1-й  учень  демонструє  модель.

 Ікосаедр – правильний  многогранник,  грані якого – правильні  трикутники і в кожній  вершині  сходиться  по 5 ребер.

Коментує  дані  таблиці.

2-й  учень  подає  історичну  довідку:

  У променях  кристала  Землі.

   Ще у двадцятих роках ХХ ст.  учений  Кислицин висунув  гіпотезу,  згідно з якою  Земля є гігантським  многогранником-кристалом. Взагалі, Землю у вигляді  кристала уявляли і до нього.  Пальму першості  слід  віддати  Піфагору,  Платону та Архімеду.  Деякі  сучасні  французькі  вчені й сьогодні  підтримують  теорію  додекаедричної  форми Землі.  Вони вважають  цю форму закінченою.  З цим  не погоджувався Кислицин.  Те,  що  у французів  було  “фінішем”, він  прийняв за “старт”.  За гіпотезою Кислицина,  геосфера Землі  піддається деформації і з геододекаедра  переходить в геоікосаедр.  Перехід з однієї кристалічної форми в іншу є повним. Геододекаедр виявився  вписаним у сітку ікосаедра.  На думку Кислицина,  у вузлах гігантської  сітки знаходяться  поклади  корисних копалин.  Так, ще у двадцятих  роках  завдяки  своїй  моделі  Землі  він передбачив 12 алмазоносних центрів, у тому числі 7 на території  колишнього СРСР.  З указаних  Кислициним  центрів не відкриті  лише п’ять – це ті,  що знаходяться  на  території  країн,  які  не входять до колишнього СРСР.

   Група  сучасних  учених-дослідників (В.Макаров, В.Морозов, Н.Гончаров)  висунула  нову гіпотезу ікосаедро-додекаедричної  структури Землі,  згідно з якою куля  має форму і властивості  кристала,  що росте і впливає на розвиток усіх природних  процесів,  які відбуваються  на планеті. За гіпотезою ікосаедро-додекаедричної  системи Землі,  ранні  цивілізації  виникли у вузлах ікосаедро-додекаедричної  структури Землі,  а розломи – центри  світових аномалій магнітного поля, серединно-океанічні  хребти – центри високих і низьких  атмосферних тисків,  місця сейсмічної  та  вулканічної  активності – розміщені вздовж  ребер ікосаедра,  а в окремих місцях  паралельні їм.   

  Система ікосаедро-додекаедричної  структури  Землі,  як вважають  автори досліджень,  може  знайти  ряд  практичних  застосувань у  прогнозуванні  покладів  корисних  копалин,  атмосферних  процесів  тощо.

   Так,  з допомогою  фотографування  з космосу  дешифровано гігантський розлом у Західному  Пакістані,  який  тягнеться  вздовж ребра ікосаедра.

3-й  учень  пояснює  розв’язування  задачі.

Знайти  площу  повної  поверхні  ікосаедра,  якщо  його  ребро  становить  сім  сантиметрів.

Звіт  групи  “Додекаедр”

                

1-й  учень  демонструє  модель

Додекаедр – це  такий  првильний  многогранник,  грані якого – правильні  п’ятикутники і в кожній  вершині  сходиться  по 3 ребра.

Коментує  дані  табоиці.

2-й  учень  подає  історичну  довідку.

   Правильні  многогранники  в  природі  та  побуті

  Правильні  многогранники – тетраедр,  октаедр,  гексаедр,  додеакаедр, ікосаедр – гармонійні  витвори  людської  фантазії  та  природи.

  У  давнину  їх  називали  космічними  або  платоновими  тілами.  Властивості  правильних  многогранників  досліджували  піфагорівці  ще  в VІ ст. до н.е.  Згідно  з вченням  піфагорівців , правильні  многогранники  знаходяться  в тісному  зв’язку  з  навколишнім  світом.  Платон  припустив природним  стихіям  форми  правильних  многогранників:  Землі – куба,  вогню – тетраедра,  воді  ікосаедра,  повітрю – октаедра.  Форму  додекаедра,  на  думку  Платона,  Бог  надав  Всесвіту.  На  сході  в середні  віки  правильні  многогранники  так і звалися:  тіло Землі,  тіло  Вогню  тощо.

  Краса і дивовижні  властивості  многогранників  дивували  не одне  покоління  математиків,  філософів,  природодослідників.  У багатьох  музеях  планети зберігаються  дивні  іграшки  та  різні  предмети,  які  мають  форми  правильних  многогранників.  Так,  у Єгипетській  залі  Британського  музею  зберігаються  іграшки  у  формі ікосаедра.  Вважають,  що  вони  належать  династії Птолемеїв.  Розкопки  в Монте Лоффа  під  Падуєю  показали,  що улюбленою  іграшкою  етруських  дітей  були  додекаедри.  А це  було 2,5 тисячі  років  тому.

   І в наш  час є багато  побутових  дзеркал,  календарів,  вуличних  ліхтарів  тощо,  які  виготовляють  у формі  правильних  многогранників.

   А чи існують  правильні  многогранники в природі?  Чи  вони є лише  витвором  фантазії  людини?  Виявляється,  і природа  конструює  свої  структури,  використовуючи  форми  правильних  многогранників.  Серед  реальних  кристалів  виявлено  форми  тетраедра,  гексаедра, додекаедра.  Нприклад ,  у формі  гексаедра  можна  виростити  кам’яну  сіль.  Дослідження  показали, що багато  вірусів  мають  форму  правильних  многогранників.  Усі  так звані  “сферичні  віруси”,  у тому числі  й  небезпечний  вірус  поліомієліту,  являють  собою  ікосаедри,  а не сфери,  як вважали  раніше.  З допомогою  сучасних  аналізів  було  досліджено  вірус Tipula.  Виявилося,  що він  також  має  форму  ікосаедра.  Чому  віруси  набувають  форми  саме  правильних  многогранників?  Причина  полягає  в так  званій  екстремальній  властивості  правильних  многогранників,  тобто  їх  здатності  обмежувати  собою  більший  об’єм,  ніж  будь-яке  інше  тіло з такою  самою  кількістю  граней.  Або це те саме,  що й мати  найменшу  поверхню  серед  усіх тіл, у яких однаковий  об’єм і одна й та сама  кількість сторін.

   Тому  вірус у формі  ікосаедра  досягає  максимальної економії  генетичної  інформації.

3-й  учень пояснює  розв’язання  задачі.

Знайти  суму  плоских  кутів  правильного  додекаедра.

1.     Підсумок  роботи.

        Правильні  многогранники  існували  на  Землі  задовго  до  появи  на  ній  людини – куби  кам’яної  солі,  тетраедри  сурм’янистого  сірчанокислого  натрію, октаедри  хромових  квасців ,  ікосаедри  бору  , додекаедри  радіолярію  та  мікроскопічних  морських  організмів.  Але  тільки  геометр  побачив  у них  порядок  і систему  задовго  до  того,  як  фізики  проникли  в таємницю  будови  речовини.  Геометрія  з її  прозорою  логікою,  чіткістю  побудови  відкрила  зовсім  нове  бачення  правильних  многогранників  та  їх  нове  застосування.

  Дякую  вам,  діти!  Нам  ваша  робота  сподобалась.

  А  зараз  я хочу  дізнатись  вашу  думку  про урок.

1.     Порівняйте  свої  знання  на початку проекту  і  наприкінці.

2.     Розвитку  яких  рис  характеру  сприяв  проект  (самостійності,  спостережливості,  відповідальності)?

3.     Які  пізнавальні  процеси  були  задіяні  під  час  проекту  найбільше  (мислення,  пам’ять,  увага,  уява)?

4.     Якого  життєвого досвіду  ви  набули  (володіти  собою,  захищати  свої  знання  бути  впевненими  в собі,  поводити  себе  в незвичних  умовах  тощо)?

5.     Чи  отримали  ви  задоволення  від  власної  праці?  Чи  вичерпали  ви свої  можливості?  Чи  є  бажання  повторити  сьогоднішні  відчуття?

6.     Охарактеризуйте  свій  емоційний  стан  протягом  проекту  (хвилювались, боялись,  дивувались,  зосереджувались)  та  наприкінці  уроку  задоволені,  виснажені,  впевнені,  раді,  успішні).

Домашнє  завдання.  (диференційоване)

Початковий  рівень

  Задача 1.   Накресліть  розгортку  тетраедра  зі  стороною 2 см.

  Задача 2.   Скільки  тригранних  кутів  має  додекаедр?

Середній  рівень

  Задача 3.    Площа  поверхні  правильного  ікосаедра  дорівнює  360  см².   

                      Знайдіть  площу  однієї  грані  та  ребро  ікосаедра.

  Задача 4.    Скільки  ребер  може  виходити  з вершини  правильного 

                      многогранника?  (  Розгляньте  на  прикладах )

Достатній  рівень

   Задача  5.   Знайдіть  об’єм  правильного  тетраедра  площа  поверхні  якого 

                       дорівнює  12 дм².

   Задача  6.   Основою  піраміди  є  грань  куба,  а вершиною – його  центр.  

                      Знайдіть  об’м  піраміди,  якщо  ребро  куба  дорівнює  3 см.

Високий  рівень

   Задача 7.    Під яким  кутом  з центра  куба  видно його  ребро?

   Задача 8.    Центри  граней  правильного  октаедра  є  вершинами  куба.   

                      Знайдіть  відношення  об’ємів  октаедра  та куба.